Discurso de Incorporación a la Academia de Mérida del Dr. Roberto Úcar Navarro como Individuo de Número, Sillón 17, pronunciado en sesión solemne el 21 de abril de 2021.

Académico Eleazar Ontiveros Paolini, presidente y demás miembros del Comité Directivo de la Academia de Mérida, Académico Dr. Rosendo Camargo Mora , distinguidos académicos, invitadas  e invitados, estimados  amigos y colegas, Señoras y Señores. Hoy es para mí  un día muy especial al incorporarme como individuo de número  en este acto solemne, y  agradecerle  a Dios por darme la oportunidad  de poder contribuir modestamente juntos con destacados  profesionales en el desarrollo  y bienestar de nuestra querida Venezuela. Igualmente le expreso al Señor su ayuda solidaria y generosa, la cual me ha permitido  relacionarme con tan notables profesionales de esta ilustre  Corporación, así como mi deuda de gratitud   con los que fueron mis guías y consejeros  la cual será imperecedera.

También mis palabras de agradecimiento a  todos los miembros que conforman la Comisión de Admisión y Comité de Honor, quienes decidieron favorablemente mi incorporación como Individuo de Número en el Sillón 17, al suceder al  destacado Académico Dr. Pedro Durant.

Me corresponde en este momento recordar la memoria del distinguido profesor y sobresaliente  académico  que dejó  El Sillón 17, el cual a partir de hoy me toca el honor de ocupar.

Me refiero al Dr. Pedro Durant, para luego de acuerdo a lo establecido en el protocolo, continuar con un resumen  de mi trabajo de incorporación.

No es fácil describir  la excelente labor  científica y académica  de este sobresaliente  venezolano que ha dejado importantes conocimientos  al servir al país como investigador, docente y hombre ejemplar.  Nació el 23 de febrero de 1932 en Altagracia de Orituco, Estado Guárico. Desde joven se caracterizó por su solidaridad, vigor  y espíritu de colaboración, destacándose en la alfabetización en su pueblo natal, además de enseñar  a escribir y leer a su padre con más de 60 años  de edad.

En, 1954, concluye su bachillerato en el Liceo Andrés Bello en Caracas, donde  tuvo la oportunidad  de recibir  clases de biología con la profesoras Maryluz  Carrero y Lilian Pino, quienes lo motivaron al estudio de las ciencias biológicas

En ese mismo año, ingresa en el reconocido  Instituto Pedagógico  de Caracas, donde lleva a cabo sus estudios de bilogía y química. En este centro de estudios  conoce y se vincula con experimentados docentes que le permitió consolidar su formación conservacionista y ambientalista, relacionándose con  reconocidas  personalidades  como el Dr. José Francisco Torrealba, Alonso Gamero y Royo y Gómez entre otros.

Al terminar sus estudios en el año 1957 se desempeña como profesor en Guanare, y posteriormente es trasladado a Mérida para impartir clases en el Liceo Libertador. Al poco tiempo crea el Centro de Ciencias Dr. José Francisco Torrealba, iniciando así la cultura conservacionista a través de planteles  del  Ministerio de Educación, donde realiza salidas de campo con sus estudiantes, con la finalidad de estudiar el Ecosistema Merideño.

Entre los años 1965-1967 lleva a cabo sus estudios de postgrado en la Universidad  de Michigan en USA.  A su regreso a Venezuela ingresa  como profesor en  la Facultad de Ciencias de la Universidad de Los Andes.

Es importante destacar que son muchos  los cursos impartidos, entre los que se destaca su participación  en el Proyecto de Capacitación  Ambiental, con el  propósito fundamental  de consolidar la Educación Ambiental en el Estado Mérida. También a través del Grupo de Ecología Animal, apoyó al fortalecimiento de los centros de ciencias en todo lo concerniente a la  conservación del entorno  ambiental. Como reconocimiento a esta fructífera trayectoria conservacionista y ambiental, recibió en el año 2002 el premio Universitario de Conservación  Dr. Carlos Liscano.

Adicionalmente, debemos recordar la extraordinaria labor que realizó  como director del  Bioterio de Universidad de Los Andes destacándose   por la calidad de las investigaciones y los protocolos para el bienestar de los animales.

Participó en numerosos intercambios  científicos tanto nacionales como internacionales Entre sus actividades profesionales en nuestra querida Universidad de Los  Andes  impartió la docencia en  Bilogía General y Bilogía  Animal. También se dedicó al enseñanza y la investigación  de la Ecología en las áreas como la   general, animal, ambiental y experimental. Fue jefe del Departamento de Biología  entre 1967 a 1969.  Al principio de la década de los setenta  fue director encargado del Centro  de Microscopía Electrónica,  y desde el año  1978 hasta 1990 tuvo la responsabilidad de  coordinar en la Facultad de Ciencias el Grupo de  Ecología Animal.  Durante el periodo  1973 a1975 fue Research Fellow en  la Universidad Estatal de California  (California State University -USA).

Son muchos los artículos  y trabajos de investigación publicados tanto a nivel nacional como internacional, que nos ocuparía varías páginas para mencionar todo su extenso trabajo científico, así como publicaciones de educación ambiental.

 También, son numerosos  los  reconocimientos  en su fructífera  vida profesional,  entre  los  cuales  se destacan: 

Premio “William H.Phelp”, otorgado por la Sociedad  Venezolana de Ciencias Naturales

Premio Dr. Francisco de Venanzi – Área  Ciencias Ambientales – Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes

Orden Andes Bello, Primera y Segunda Clase – Gobierno Nacional 

Orden Henry Pittier, Primera Clase – Gobierno Nacional 

Orden  Fray Juan Ramos de Lora, Primera Clase – Universidad de Los Andes

Honor al Mérito, FUNDACITE, Mérida

Orden Ciudad de Mérida, Primera Clase, Gobierno del Estado Mérida

Sin lugar a dudas, la comunidad merideña se siente agradecida por  la valiosa labor  del  Dr. Pedro Durant como pionero en la enseñanza conservacionista y ambiental de la región andina. Además, estoy seguro de que su obra imperecedera como docente e investigador en el campo de la Ecología permanecerá  como una fuente de conocimientos  en la juventud estudiosa. 

Seguidamente, como lo establece el protocolo  procederé con el resumen de mi trabajo de incorporación, el cual es  el fruto de los últimos treinta años  en el complejo tema de la rotura en macizos rocosos, dando como resultado la  reciente publicación del libro:

LA  RESISTENCIA  AL CORTE  EN MACIZOS ROCOSOS Y EN EL HORMIGÓN

UNA METODOLOGÍA RECIENTE DE CÁLCULO

La historia de este libro se remonta desde hace aproximadamente dos décadas, al proponer como tesis de maestría en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes (Mérida, Venezuela) un criterio empírico de rotura bidimensional para el hormigón y que también tuviese su aplicación en otros materiales como es el caso de las rocas. Adicionalmente, se construyó una cámara de compresión triaxial en la cual se llevaron a cabo las respectivas pruebas de resistencia con igual presión de confinamiento junto con los clásicos ensayos de compresión simple y a tracción.

Durante el proceso de investigación aplicando el referido criterio se pudo observar que la ecuación propuesta que vincula las tensiones principales se ajustaba bastante bien a los datos experimentales, dando además valores del error estándar inferiores al compararse con otros criterios de falla utilizados comúnmente en el análisis e investigación tanto en el campo de la ingeniería geotécnica como del hormigón.

Después de cierta inactividad se comenzó la segunda etapa de investigación, la cual fue la más difícil por los obstáculos y tropiezos encontrados al no poder determinar la solución analítica de la ecuación diferencial y por ende la envolvente de la curva plana a los círculos de rotura de Mohr. Afortunadamente siempre está la mano de Dios que con su presencia nos ha iluminado y guiado para hallar definitivamente la solución exacta de la curva de resistencia intrínseca.

Luego vino el tercer periodo de estudio con el propósito fundamental de obtener las constantes del material ensayado, aplicando ciertas condiciones de borde incorporadas al sistema de ecuaciones no lineales.

Por otra parte, al aplicar las técnicas y algoritmos utilizados a través de los conocidos métodos numéricos se obtenían un sin número de valores de las constantes en función de las condiciones iniciales del problema planteado.

Sin embargo, el rompecabezas se solucionó al analizar en detalle la curva cuadrática cuya sección cónica está representada por una parábola, tal como se intuía en el proceso de análisis a través de las útiles herramientas que nos confiere la geometría analítica, y la posterior trasformación de la parábola en su forma ordinaría o canónica.

En estas condiciones, se determinó a través del concepto latus rectum (cuerda) de una sección cónica la correcta ubicación de la abscisa del foco en la rama positiva de la curva parabólica, evitando por lo tanto el inconveniente de obtener infinitas soluciones de las constantes involucradas en la ecuación que vincula las tensiones principales.

A este método analítico se le ha dado el nombre de Procedimiento del Foco, el cual aplicando simples transformaciones algébricas se obtienen las constantes de rotura con un buen nivel de aproximación a través de una ecuación de segundo grado.

Todo esto, teniendo como datos iniciales únicamente el valor de la resistencia a tracción y compresión uniaxial, considerando la condición de la roca intacta o determinando la calidad del macizo rocoso con la ayuda de las denominadas clasificaciones geomecánicas.

Otra ventaja  adicional del procedimiento analítico es que no se requiere conocer mediante las pruebas triaxiales los diferentes intervalos de las tensiones principales en el instante de falla, y por ende no se necesita aplicar la conocida técnica de ajuste de curvas por mínimos cuadrados para obtener las referidas constantes.

Mediante ejemplos prácticos se comparan los resultados entre el criterio de rotura propuesto en la presente obra, con las pruebas   experimentales obtenidas de la recopilación de datos presentadas por reconocidos investigadores. Todo esto, a través de ensayos  triaxiales considerando varias clases de rocas. A la vez, se equipara en detalle con la hipótesis de Hoek y Brown, utlizando como índice de calidad la clasificación geomecánica de Bieniawski conocida como Rock Mass Rating (RMR).

También se presenta el cálculo analítico de las tensiones y parámetros resistentes teniendo en cuenta las pruebas experimentales en probetas cilíndricas de concreto confinadas a igual presión y sometidas a compresión axial en dos casos específicos. Al calcular las constates se observó que los valores de la tensión principal de rotura daban resultados satisfactorios al comparase con los ensayos de laboratorio, incluyendo los realizados en rocas.

El libro está programado con una estructura central en la cual se desarrolla en forma pormenorizada el método desarrollado junto con ejemplos de aplicación. Luego se adjuntan varios apéndices que complementan la investigación con el propósito de que el lector no se aparte del núcleo principal del criterio de rotura propuesto.

A través de los apéndices se explica en forma sucinta el procedimiento matemático para determinar la envolvente a una familia de curvas, la transformación de la ecuación de la parábola de rotura en forma canónica, así como una descripción de los criterios de rotura en macizos rocosos, lo que ayuda a conocer el estado actual del conocimiento. Todo esto junto con otros temas que he considerado de interés, entre ellos la determinación por parte del autor de la curva de resistencia intrínseca aplicando el criterio original de Hoek y Brown y el de Murrell. Adicionalmente, se describen las ecuaciones que relacionan la cohesión y el ángulo de fricción interna con la resistencia a tracción y compresión simple de la roca. Su importancia se debe a que el criterio lineal de rotura de Mohr-Coulomb es ampliamente utilizado en el campo de la geotecnia, aun cuando presenta ciertas restricciones. Por otra parte, en el último apéndice se estudia la representación gráfica de los esfuerzos, lo que permite una mejor interpretación de los diferentes criterios de rotura en el plano desviador.

A la vez, es oportuno indicar que a través del método desarrollado en esta obra es posible calcular también una envolvente linealizada del tipo Mohr-Coulomb equivalente conociendo previamente el nivel de la tensión normal. Esto se debe a la amplia divulgación del criterio lineal en reconocidos programas asistidos por el ordenador que analizan gran variedad de problemas aplicados comúnmente en el área de la ingeniería del terreno.

Un ejemplo práctico de linealización se lleva a cabo en el Apéndice C, y se compara con el criterio generalizado de Hoek y Brown (HB) empleando las ecuaciones desarrolladas por Kumar. Lamentablemente este método de cálculo de este último investigador, ha sido poco difundido, a pesar de que su aporte es de gran relevancia para determinar la resistencia al corte en macizos rocosos aplicando la referida hipótesis de HB.

Asimismo, una vez desarrollada la ecuación de rotura bidimensional, el paso final ha sido adicionar el esfuerzo principal intermedio en dicha expresión analítica, por cuanto hay evidencias que demuestran que tiene una significativa influencia en la resistencia de la roca. En estas circunstancias, se ha obtenido un procedimiento de cálculo aproximado al considerar un estado poliaxial de tensiones, lográndose buenos resultados al compararse con las pruebas experimentales realizadas por Mogi.

En definitiva, en esta modesta obra lo que se desea es desarrollar una metodología sencilla de fácil aplicación y con resultados confiables, sin necesidad de incursionar en el complejo campo del mecanismo de fractura.

Cabe destacar, que esta representación analítica de la curva de resistencia intrínseca ayudará sin lugar a dudas a desarrollar nuevos métodos de cálculo en lo concerniente a la estabilidad de taludes y estructuras subterráneas, en el diseño del soporte en macizos rocosos mediante anclajes, en la estimación de la resistencia por el fuste en roca de calidad pobre siendo el tipo de fundación por medio de pilotes, así como la carga de hundimiento de una fundación en terrenos diaclasados, y en otras innumerables aplicaciones dentro del campo de la geotecnia.

También, como previamente se ha señalado, buenos  resultados se han obtenido empleando este nuevo criterio de rotura al determinar la resistencia al corte del hormigón  en función de los parámetros obtenidos y a través de las pruebas de laboratorio en probetas sometidas a tracción, compresión simple y triaxial.

Adicionalmente, en los últimos años se ha realizado una extensa investigación en el campo de la ingeniería geotécnica con el objeto de poder determinar con mayor precisión la resistencia al corte de la roca tanto en la condición sana como fracturada.

Todo esto ha generado como resultado la publicación de una gran cantidad de estudios para definir un criterio tanto del punto de vista teórico como experimental que permita predecir la rotura del macizo rocoso, desde que en 1773 Coulomb postulara la primera hipótesis de falla.

La causa fundamental de que ninguno de los criterios existentes haya tenido una utilización universal radica en el hecho de que son muchos los parámetros que gobiernan el proceso de rotura de la roca, factores estos que dependen tanto del propio macizo rocoso como del estado tensional.

Básicamente estos criterios son modelos matemáticos que tratan de interpretar o definir en qué momento se inicia la rotura de un punto del material investigado a través del estado de esfuerzos y/ o deformaciones.

En los criterios de rotura se utilizan funciones analíticas sencillas que representen lo mejor posible el comportamiento general de los datos experimentales ajustando la curva  a través de uno o varios parámetros.

Por supuesto, no hay un modelo único que se ajuste perfectamente a todos los materiales, y no existe ningún criterio de rotura preciso para todo estado tensional.

Por otra parte, cabe destacar, que en las últimas décadas se han desarrollado diferentes criterios empíricos como el aquí presentado, los cuales aunque no poseen el esperado fundamento científico, ofrecen la gran ventaja de acercarse a la realidad del fenómeno físico.

En este sentido, deben señalarse  las importantes contribuciones realizadas por Bieniaswki, Barton, Hoek y Brown Ramamurthy, Palmström entre otros destacados investigadores, al avanzar con paso firme y aproximarse a resultados más reales de la resistencia de la roca en función del grado y las características de la fracturación, tamaño de los bloques, abertura, relleno y alteración de las discontinuidades.

Otra valiosa contribución, ha sido la de Yu a través de su excelente libro “Unified Strength Theory and Its Applications”, el cual se recomienda su lectura junto con el de los siguientes autores: Sheorey,  “Empirical Rock  Failure   Criteria”, Andreev, “Brittle Failure of Rocks Materials, y Mogi, “Experimental Rock Mechanics”.

Regresando al libro, el otro gran reto en esta investigación se  fundamenta en llevar a cabo un procedimiento analítico sencillo que permita obtener la resistencia de la roca en la condición fracturada y meteorizada; tarea esta nada fácil por lo complejo del problema. Sin embargo, a pesar de los tropiezos encontrados, se ha logrado hallar la envolvente de rotura teniendo en cuenta la calidad de la roca.

Mediante el procedimiento que se describe en esta investigación (Procedimiento del Foco) los parámetros involucrados en la ecuación propuesta  se determinan con un buen grado de aproximación utilizando únicamente la relación entre la resistencia a la tracción y la compresión sin confinar. Todo esto, tanto en la condición de roca intacta como en función de su índice de calidad. Adicionalmente se tiene  la ventaja adicional que no se requiere conocer el intervalo de las tensiones principales de rotura a través de los ensayos experimentales.

Como se sabe, para llevar a cabo el ajuste de la curva por mínimos cuadrados y determinar las referidas constantes, es imprescindible o necesario utilizar como datos los respectivos valores de la tensión principal que se han obtenido para cada presión de confinamiento en las pruebas triaxiales.

Con la ayuda de ejemplos prácticos se comparan los resultados del nuevo criterio de rotura, con la hipótesis  de Hoek y Brown aplicando diversos valores de la clasificación geomecánica de Bieniaswki, conocida como Rock Masas Rating (RMR).

También, se ha logrado el objetivo final de este apasionante tema  concerniente con  la resistencia de  macizos rocosos, el cual  ha permitido  desarrollar un criterio práctico y efectivo de rotura considerando un estado poliaxial de tensiones; por cuanto hay  evidencias  que  demuestran  que el esfuerzo principal intermedio tiene influencia  en la resistencia de la roca. A la vez, el criterio  empírico propuesto se compara con las pruebas experimentales de Mogi, junto con otros criterios existentes  como  son los  de Zhang y Yu entre otros.

Este importante tema de la mecánica de las rocas, ha sido estudiado por muchos investigadores en especial por Mogi, quien  comenzó sus estudios experimentales a partir de 1964, ampliando  las condiciones de rotura para un estado poliaxial de esfuerzos.

Sin lugar a dudas lo previamente indicado tiene  una relevante importancia  por cuanto permite determinar con mayor exactitud la resistencia de la masa rocosa.

Por mencionar únicamente dos casos, es fundamental mejorar o perfeccionar el diseño del sostenimiento de túneles teniendo siempre como norte construir una obra más segura, y que permita también reducir costos sin detrimento de la estructura  subterránea excavada.

Igualmente, es de interés analizar a través de un criterio de rotura tridimensional la estabilidad de hoyos en la industria petrolera, a sabiendas que no es fácil determinar el  campo de esfuerzos “in situ” en la roca. 

También, deseo mencionar que el libro tiene como meta primordial  colaborar sin ninguna presunción en la preparación de mejores ingenieros y estudiantes y, como corolario natural, lograr excelentes hombres en beneficio de la comunidad donde puedan aportar su experiencia y conocimientos.

El lector puede estar convencido de que he puesto todo mi esfuerzo y entusiasmo para llevar a cabo esta difícil tarea, pero  a través  de sus  comentarios  se logrará mejorar el objetivo de la presente obra.

Seguidamente deseo también relatar algunas anécdotas y dedicatorias. 

Luego de algunos años sin hallar la ecuación que gobierna la envolvente de rotura, decidí eliminar el polvo de las hojas de la carpeta que todavía contienen las expresiones matemáticas. Así, al analizar nuevamente el problema planteado logré llevar a cabo las simplificaciones necesarias y por tanto, resolver la integral que permitió determinar la tensión normal sobre el plano de fractura  y por ende  la envolvente de falla.

En este sentido, quisiera  mencionar un par de anécdotas sobre el tema de la envolvente. En una ocasión le mostré las ecuaciones obtenidas a un profesor amigo, y él me preguntó: ¿Qué significa las letras GDM al lado de solución matemática? Al  instante le respondí. Significa Gracias Dios Mío, pues fue su mano la que me guió para resolver la ecuación diferencial.

La segunda historia, corresponde durante mi viaje a Zaragoza en el  año 2018, donde visité a mis hijos alrededor de unos 10 meses.

Debo mencionar que en el viaje me llevé el libro AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS PARA TÉCNICOS  publicado en 1946, año que casualmente corresponde con mi nacimiento, y cuyos autores  del referido libro  son F. Navarro  Borrás y J.M .Marín Tejerizo .Como pueden  observar el libro  tiene las páginas muy deterioradas, además del color amarillo  generado por el proceso de oxidación  de la celulosa del papel, el cual le da la apariencia de un libro añoso, pero que sin lugar a dudas no  ha pasado de moda. Debo mencionar, que profesor Marín Tejerizo, es autor tres libros más de análisis matemático y dejó en mi persona una traza importante durante mis estudios de ingeniería, razón por la cual hay una dedicatoria en el apéndice (A) de mi libro, pues he querido  reconocer su contribución  como docente en la enseñanza del análisis matemático. Volviendo al libro, a través de él aprendí el procedimiento matemático para determinar la referida  envolvente de una familia de curvas, y aplicar el procedimiento que me permitió lograr aproximadamente la resistencia en las rocas y en el  concreto, el cual  describo en mi libro. Ahora bien, la cubierta posterior o contraportada del libro  muestra que el texto fue impreso en los Talleres Editoriales El Noticiero ubicado en El Coso 79 de la ciudad de  Zaragoza  y tiene como imagen la Basílica del Pilar.

Pero resulta que mi hija  vive  a escasos 150 metros donde existió  la imprenta  y más o menos igual distancia de  la famosa Basílica Aragonesa.

Pero, qué  me iba  a imaginar que un año antes  de la publicación de mi libro conocería después a mis setenta y dos años el sector   donde estuvo ubicada la imprenta con su característico emblema resaltando la figura o efigie del Santo Templo Barroco dedicado a Nuestra Señora del Pilar. Por supuesto, esta  experiencia vivida no es casualidad, por cuanto siempre  hay una mano poderosa que nos guía.

A continuación transcribo la dedicatoria al matemático J.A.  Marín Tejerizo, del apéndice (A) del libro:

Al Profesor J.A. Marín Tejerizo, por su excelente contribución en la enseñanza del análisis matemático que hábilmente supo transmitir  a través de sus textos, así como en sus obras de problemas de cálculo integral y diferencial.

Cabe destacar, que en  este primer apéndice se describe  un tema de gran interés y de amplia aplicación por matemáticos, físicos e ingenieros como es la determinación de la envolvente de una familia de curvas dependiente de un parámetro.

Siguiendo con la historia, La segunda fase consistió en determinar en  una forma sencilla  y segura  las referidas constantes  que gobiernan la resistencia de la roca, simplemente mediante el ensayo de tracción y compresión uniaxial, evitando así la necesidad  de realizar ensayos triaxiales.

Para ello era necesario conocer qué tipo de sección cónica  corresponde a  la ecuación cuadrática   la cual vincula  las tensiones principales en la rotura del nuevo criterio propuesto.

En el apéndice (B)  se desarrolla con la ayuda de la geometría analítica   todo el proceso matemático  en el cual se demuestra   que  la curva es una parábola.

Haciendo un paréntesis, es importante recordar que fue  el matemático griego  Menecmo (alrededor de 350 A.C) quien describió estas curvas.

Luego Apolonio también griego, fue el pionero en  estudiar detalladamente las cónicas y sus propiedades y las clasificó  con el nombre de elipses, hipérbolas y parábolas.

Posteriormente René Descartes (1595-1650) desarrolló el procedimiento que relaciona las curvas  cónicas  mediante ecuaciones de segundo grado  dando el inicio  a la geometría analítica.

También debemos mencionar  a Kepler quien descubrió que las orbitas de los planetas  alrededor  del sol  son elipses. De nuestros estudios de física podemos recordar  tal como lo menciona Charles Lehman es su libro de Geometría Analítica , que al colocar un foco luminoso en el punto del foco de la parábola , los rayos  inciden  sobre dicha curva  y se reflejan  según rectas paralelas  al eje de la parábola .Siendo, éste es el principio del reflector parabólico  usado en las locomotoras  y automóviles, así como en los faros buscadores.  Con esto deseo mencionar que gracias a estos extraordinarios  matemáticos  y científicos  ha sido posible avanzar  con paso firme en las diferentes ramas de la ingeniería, las ciencias y la  economía, entre otras. Por eso, a ellos deseo expresar mi agradecimiento y admiración  por su gran contribución en el desarrollo del conocimiento.

Regresando al libro, durante mi investigación  transformé la ecuación cuadrática  representada  por la  parábola, a  su  forma canónica. En estas condiciones, se aplicaron las  propiedades  de esta  importante  sección  cónica, y considerando además la cuerda focal (lado recto o latus rectum), que pasa por el foco  y es perpendicular  al eje de parábola. Así, finalmente a través de ciertos procesos matemáticos se logró determinar las constantes del material investigado mediante una sencilla ecuación de segundo grado y por ende su resistencia; requiriéndose únicamente el ensayo de compresión simple y de tracción. Todo esto sin necesidad de llevar a cabo los ensayos triaxiales  y aplicar el método de los mínimos cuadrados para calcular las referidas  constantes en la condición de roca intacta  y para el caso del concreto.

Considerando este avance, el paso final consistió en hallar las constantes considerando la presencia en la roca de planos de discontinuidad y el grado de meteorización. En estas condiciones aplicando las clasificaciones geomecánicas, en particular  el índice de calidad RMR (Rock Mass Rating) de Bieniaswki, junto ciertas condiciones de borde, fue  posible determinar en forma aproximada la resistencia del macizo rocoso en todo su conjunto.

Por lo tanto,  la presencia de discontinuidades le otorga al material rocoso un comportamiento no continuo, además de su naturaleza heterogénea relacionada con la estructura mineral a través de fisuras o grietas

Esto trae como consecuencia la difícil  tarea de poder determinar dentro de un intervalo confiable la resistencia al corte de la roca, pues por ahora, lo que tenemos es una simple aproximación al problema. 

Sin embargo, a pesar de las dificultades y lo complejo de poder determinar con un adecuado nivel de aceptación  la resistencia en macizos rocosos, se logró con buenos resultados  el  objetivo buscado. Sin lugar a dudas,  estos logros se deben  gracias a la maravillosa curva que es la parábola junto con  sus propiedades, y a los grandes  sabios matemáticos griegos que  200 años A.C descubrieron  las curvas cónicas, además de estudiarlas  detalladamente.

Continuando con el libro, el tercer capítulo está dedicado  en mejorar el criterio de rotura bidimensional considerando un estado de tensiones tridimensional.  

Como se sabe, el criterio bidimensional es un aproximación al problema, por lo tanto, al ampliar el criterio de rotura en rocas  en tres dimensiones  se obtienen resultados  más reales. Así por ejemplo, se logra optimizar el soporte en las obras subterráneas. También se determina con  una mayor aproximación  la capacidad resistente de la roca sedimentaria en la perforación de un pozo petrolero y evaluar su estabilidad. En este sentido, cabe señalar  que un hoyo perforado contiene un número establecido de tuberías llamadas revestidores que suministran el camino seguro para que el petróleo o gas que se encuentra en el yacimiento pueda salir y procesarse satisfactoriamente. Una ventaja de este nuevo criterio, sería evitar el colapso en las paredes del pozo  cuando se perfora estratos con poca  densidad del fluido de perforación.   

Por otro lado, también se logró determinar un tercer parámetro  adicional  en la nueva  ecuación tridimensional de rotura propuesta, teniendo en cuenta los valores experimentales realizados por  Mogi.

A tal efecto, se aplicó la hoja de cálculo Excel y su programa de complemento Solver, el cual es una excelente herramienta de cálculo a través de la aplicación de algoritmos matemáticos.

Debe indicarse, que los resultados obtenidos han sido satisfactorios al compararse con los valores  experimentales realizados por Mogi en pruebas poliaxiales y también  con otros investigadores. Adicionalmente, deseo señalar que  el Dr. Kiyoo Mogi, fue el pionero en construir un equipo  triaxial verdadero  para determinar la resistencia de las rocas.

Por otro lado,  como una aproximación  al problema se aplicó  el concepto de la derivada direccional. Así, con  la ayuda de las herramientas que nos otorga  el análisis matemático, se determinó dentro de cierto rango de aproximación  el parámetro adicional  previamente mencionado  alminimizar la expresión analítica, y considerando además los multiplicadores de Lagrange .

Por supuesto al hablar de minimización, tenemos que mencionar la derivada de una función, y al gran maestro  matemático Leonhard Euler quien consolidó  los fundamentos  sobre el cálculo diferencial e integral y el cálculo de  variaciones. También investigó otros tópicos de interés  relacionados con el campo de la óptica y la astronomía.Cabe indicar, que  Euler es considerado el genio matemático más relevante del  siglo XVIII, y para muchos estudiosos el más grande matemático de todos los tiempos.

Él en sus trabajos  comentaba:” Ya que la fábrica del universo es más que perfecta , y es el trabajo del creador , que es más que sabio , nada en el universo sucede en que alguna regla de máximo o mínimo aparezca”

Sin lugar a dudas, debemos expresar nuestra  admiración  por el   legado del matemático Leonhard Euler  junto  su extraordinaria  obra como hombre intelectual en sus trescientos catorce años  de nacimiento

Continuando con el libro, en el apéndice (C) expreso mi reconocimiento al profesor  K. Mogi, por su fecunda labor desarrollada  en el campo de la ingeniera sísmica y de la mecánica de rocas.

A continuación,  menciono mis palabras de gratitud:

Al Dr.Kiyo Mogi profesor emérito de la Universidad de Tokio como reconocimiento a su relevante trayectoria como  investigador y aportes científicos  en la predicción de terremotos cuyo  propósito  ha sido el de evitar o reducir pérdidas de vidas y daños materiales. También por su meritoria  contribución en el desarrollo y difusión en el campo de la geomecánica  a través  de los ensayos de compresión poliaxial junto con el  criterio de rotura en rocas (Mogi Failure Criterion).  

También, en el apéndice (C) se lleva a cabo un estudio detallado  del conocimiento actual de los diferentes criterios de rotura en macizos rocosos.  En él se incluyen varios ejemplos comparativos, junto con  tablas, cuadros y figuras que comprenden o engloban  aproximadamente  unas  120 páginas.

En el apéndice (D),  se desarrolla una expresión analítica,  la cual permite hallar la resistencia  al corte en macizos  rocosos  al utilizar el criterio desarrollado por S.A.Murrel y expresado posteriormente en forma adimensional por el  Profesor Z.T. Bieniawki, quien  utilizó los ensayos de resistencia obtenidas en el Instituto Científico de Sudáfrica.

Prosiguiendo  nuevamente con la  historia, me acuerdo que mi tutor de doctorado, me propuso como un capítulo adicional  a mi trabajo de tesis, que   determinara la envolvente de rotura, pues me comentaba  que el criterio adimensional propuesto por el Dr. Bieniaswki  es ampliamente utilizado en el campo de la mecánica de rocas. Además me indicó que hallar  la  referida curva de resistencia intrínseca  sería también de utilidad para el caso del concreto, por cuanto la ecuación que gobierna las tensiones principales de rotura para el caso de roca intacta es muy semejante  a la propuesta por F.E. Richart  en pruebas de resistencia en el concreto. Gracias al libro ruso de Ecuaciones diferenciales y Cálculo de Variaciones de L.Elgolts logré obtener la curva envolvente de falla, pero luego de meses  de estudio, tropiezos y mucha dedicación.

Este apéndice lo he dedicado a quien fue mi  tutor de tesis  y maestro durante mis estudios  en la Facultad de Ingeniería en la  el U.C.V

El reconocimiento dice lo siguiente:

El autor dedica con admiración y cariño el presente artículo al profesor Dr. Eduardo Peláez como reconocimiento  a su extraordinaria labor docente y humana, la cual llevó a cabo con notable dedicación en la formación de profesionales de la ingeniería en nuestra querida y recordada Escuela de Geología y Minas de la Universidad Central de Venezuela.

El apéndice (E), corresponde a mi artículo  “Determination of Shear Failure Envelope in Rock Masses” publicado en 1986 por el Journal de Getechnical Engineering.También dicho artículo se basa en hallar la envolvente de falla en rocas aplicando la hipótesis de rotura bidimensional entre las tensiones principales propuesto por Hoek y Brown. Es de hacer notar que el referido criterio es el más utilizado actualmente en el campo de la ingeniería de rocas. Sin embargo, estos investigadores que en ese tiempo eran profesores del Imperial College de Londres, no pudieron hallar la  solución analítica correcta de la envolvente; y por tanto la expresaron en forma aproximada a través de unas constantes dependiendo del tipo de roca.

A partir de 1984, comencé la tarea  de hallar  la referida curva envolvente a la familia de círculos de Mohr, aplicando el criterio de rotura de los mencionados investigadores, pero sin logar resultados satisfactorios.

Con el problema en mente,  busqué en nuestra querida  Facultad de Ingeniería el asesoramiento con algunos profesores de matemáticas  pero no se logró el éxito esperado.

Dentro de ese proceso de búsqueda  me reuní con el Dr. Florencio Plachco, quien al analizar mi ecuación  diferencial me contestó: Roberto, estoy seguro que el método para resolver  ese tipo de ecuación diferencial lo puedes encontrar en el libro  del reconocido matemático ruso F. Elsgoltz, a quien he mencionado en párrafos anteriores .También, me comentó que el libro es editado  tanto en español como en inglés por  MIR- MOSCÚ y lo podía obtener a través de su distribuidor en Caracas.

A los pocos días me puse en contacto con el representante  de la  editorial  y en un viaje a la capital adquirí el libro.

Les confieso, que a  mi regreso  por Avensa a Mérida, la lectura del libro fue atractiva y amena  en todo el viaje, por cuanto pude estudiar el procedimiento de cálculo buscado.   

Luego de varias semanas sin logar la solución, invite a mi esposa Damaris al cine, y sin haber terminado la función, le dije: Vámonos  a la casa, porque encontré el cambio de variable para resolver la ecuación diferencial. Por su puesto, logré hallar  la solución, pero gracias al excelente libro del matemático  ruso Elsgoltz  que me supo guiar en el procedimiento  de cálculo. Como colofón de lo ocurrido, en cierta ocasión  se lo comenté a nuestro apreciado y recordado Dr. William Lobo, quien un día conversando en la Facultad, se  recordaba sonriendo de mi  anécdota en el  cine.

No he  olvidado al escribir estas páginas la deuda de  gratitud con mi querida Universidad de Los Andes por darme la oportunidad de aprender enseñando. En esta Alma Mater logré consolidar mi trayectoria como profesor e investigador, además  de  apoyarme económicamente en mis estudios de doctorado en los difíciles años en que comenzó la devaluación de la moneda.

A la Universidad de Zaragoza (Departamento de Ciencias de la Tierra) en ocasión de poder investigar tan relevante tema concerniente con la rotura de rocas durante mi permanencia como profesor invitado.

A mi amigo y colega Profesor Dr. Carlos López Jimeno, que, con su constante interés y apoyo ha contribuido al mejoramiento de esta obra. Igualmente, mi agradecimiento con la profesora Norly Belandria Rodríguez por su colaboración desinteresada en la revisión de las ecuaciones, tablas y gráficos, así como sus valiosos comentarios.

Un reconocimiento especial a Javier Cerrada Márquez por su dedicación y profesionalismo demostrado con los excelentes dibujos y gráficos contenidos en el libro.

Para finalizar este importante acto de incorporación, deseo expresar mi gratitud a mis profesores de la Facultad de Ingeniería de  la UCV, en especial al recordado profesor Dr. Eduardo Peláez como reconocimiento a su extraordinaria labor docente y humana. A CONICIT (Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas), organismo que me dio la oportunidad de realizar  mis estudios de postgrado, y tener el privilegio  de ser  alumno del  Dr. Wilbur Duvall quien con  su sabiduría me motivó a estudiar e investigar el complejo campo de la mecánica de rocas.

No he olvidado al escribir estas páginas mi deuda de gratitud con mi compadre Rolando Rodrigo Alarcón, quien con sus palabras de aliento generaron la motivación para que llevará  a cabo la difícil tarea de escribir el Manual de Anclajes en Ingeniería Civil. Fallecido inesperadamente y prematuramente, el vacío que deja como excelente profesional de la ingeniería  y venezolano ejemplar, es la prenda más segura de memoria imperecedera.

A mis queridos padres Pedro Úcar Echeverría y Dorita Navarro de Úcar, quienes  con su ejemplo fueron pilares fundamentales en mi formación como ciudadano y profesional, enseñándome los verdaderos valores familiares de honestidad y de ayudar al prójimo.

A mí querida Damaris, que el próximo mes cumplimos 50 años de casados, por su constante apoyo y solidaridad. Gracias a su ayuda, fortaleza  y amor  incondicional fue posible  llevar a cabo  mis estudios  de postgrado.

A mis queridos hijos, Adriana, Jorge, Eduardo, Ana María,  Sara, Alfredo y Evelyn. A mis nietas Victoria, Isabella y Sofía, y a mis nietos  Roberto Alejandro y Jorge Luis. A todos ellos  los  amo profundamente y son junto con mi esposa  la razón de  trabajar  incansablemente  para que cada día logremos todos unidos ser mejores esposos, hijos, amigos  y ciudadanos.

También debo mocionar a mi hermana Marie Claire ejemplo de trabajo y bondad.

Mi sincero agradecimiento, a este maravilloso país  que les extendió los brazos solidarios a mis padres como refugiados políticos de la cruenta guerra civil española. Apenas tenía ocho meses de edad cuando llegué de Francia a  esta  tierra bendecida  por  Dios, dándome la oportunidad de estudiar,  y poder contribuir modestamente en su desarrollo.

A la Academia de Mérida por la distinción que me han otorgado, la cual agradezco con la mayor responsabilidad y modestia.

A todos ustedes apreciados académicos,  invitados, amigos  y colegas presentes, muchas gracias. Laus Deo.

Dr. Roberto Úcar Navarro

Mérida, 21 de abril del 2021.

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