Por: Dra. Norly Thairis Belandria Rodríguez

Discurso de Incorporación a la Academia de Mérida como Miembro Correspondiente Estadal

1.- INTRODUCCION

En el análisis de estabilidad de taludes es de primordial importancia el reconocimiento de los factores que condicionan la estabilidad y aquellos que actúan como desencadenantes de la inestabilidad. El conocimiento de ambos factores, permite una evaluación del peligro existente y, por tanto, las medidas necesarias para evitar o corregir los posibles deslizamientos. La susceptibilidad de que se produzcan en los taludes, está condicionada por factores naturales como, el agua que genera presión de poros, sismicidad, actividad biológica y también por factores humanos como: excavaciones, voladuras, sobrecargas, minería entre otros. El material o la cuña deslizante tiende a generar y buscar la curva plana de rotura más propensa al deslizamiento, la cual se asemeja geométricamente a formas de rotura plana, circular, espiral logarítmica, parabólica, que pueden ser más desfavorables.

En la siguiente investigación se propuso desarrollar una metodología a través del cálculo variacional, la cual genera un sistema de ecuaciones no lineales que es resuelto por métodos numéricos permitiendo determinar el mínimo factor de seguridad, la distribución de los esfuerzos normales a una masa potencialmente deslizante la cual es dividida en rebanadas y la curva plana potencial de rotura plana, parabólica, circular y la más desfavorable no circular. Para ello, se investigan y mejoran las ecuaciones del cálculo variacional basado en el concepto de equilibrio límite y el criterio de rotura de Mohr -Coulomb, propuestas por diferentes investigadores en el que se obtiene un sistema de ecuaciones no lineales sin ningún tipo de solución. Además, se consideran adicionalmente cargas externas como: las fuerzas sísmicas, la sobrecarga y la presión de poros.

Para ello, en primer lugar, se desarrolla un programa a partir de la división de la masa deslizante en un número indeterminado de rebanadas a través del software Maple lo cual permite resolver el sistema de ecuaciones no lineales. En segundo lugar, para corroborar los resultados se comparan con otros programas como: EES, (Engineer Equation Solver) y MatLab. Posteriormente, se equipará con el método analítico de rotación de ejes, el método gráfico, el método de rebanada y el programa Slide de la empresa RocScience.

Finalmente, se requiere comprobar que el método del cálculo variacional propuesto, es un método innovador, por cuanto permite calcular la curva plana potencial de rotura bien sea plana, parabólica, circular, entre otras; así como, la curva plana más desfavorable que al compararse con los otros métodos se han obtenido resultados muy parecidos. Lo descrito anteriormente permitió validar el método del cálculo variacional, además de resaltar que ninguno de los programas utilizados en la geotecnia presenta el desarrollo del método del cálculo variacional. Por otra parte, a través de esta investigación se podrán obtener datos confiables que pueden ser comparados con los métodos antes expuestos.

2.-EL CÁLCULO VARIACIONAL

Es una herramienta que permite resolver problemas en los cuales es necesario determinar los máximos y los mínimos de cierta función, con frecuencia surge en los estudios físicos la necesidad de hallar los valores máximos o mínimos de un género especial de magnitudes, llamadas funcionales.

Se llaman funcionales a las magnitudes variables cuyos valores se determinan mediante la elección de una o de varias funciones.

Por ejemplo, la longituddel arco de una curva plana (o alabeada) que une dos puntos dados es una funcional. El áreade cierta superficie es también una funcional. Los momentos de inercia, los momentos estáticos, las coordenadas del centro de gravedad de cierta curva o superficie homogénea son también funcionales, puesto que sus valores se determinan eligiendo la curva o la superficie, es decir, las funciones contenidas en la ecuación de dicha curva o superficie.

El cálculo de variaciones tiene por objeto la determinación de curvas extremales (en el plano, en el espacio o en variedades de orden superior) y análogamente de superficies extremales que hacen máximas o mínimas ciertas integrales extendidas sobre ellas, con determinadas condiciones de contorno.

El cálculo variacional estudia los métodos que permiten hallar los valores máximos y mínimos de los funcionales. Los problemas en el que se exige investigar el máximo o el mínimo de una funcional se denomina problemas variacionales.

Los principios variacionales se basan en las leyes de la mecánica y de física en las que cierto funcional debe alcanzar su mínimo o su máximo en el proceso considerado. A dichos principios variacionales pertenecen: el principio de la acción mínima, la ley de la conservación de la energía, la ley de la conservación del impulso, la ley de la conservación de la cantidad de movimiento, la ley de la conservación del momento de la cantidad de movimiento, diferentes principios variacionales de la teoría clásica y de la teoría relativista del campo, el principio de Fermat en óptica, el principio de Castiglianos en la teoría de elasticidad, entre otros.

3.- APLICACIÓN DEL CÁLCULO VARIACIONAL Y MÉTODOS NUMÉRICOS A LA ESTABILIDAD DE TALUDES

El cálculo de variaciones proporciona procedimientos matemáticos para encontrar que la forma de la curva sea un extremal. Es decir, la curva que maximiza o minimiza el valor de la integral a lo largo de la curva, con determinadas condiciones de contorno. Por lo tanto, al aplicar el mencionado método matemático conjuntamente con las condiciones de equilibrio estático a lo largo de la línea potencial de rotura, y formuladas en forma de integrales con ciertas condiciones de contorno, es posible minimizar dichas integrales, y por ende, determinar la superficie extrema que resulta en el mínimo factor de seguridad del talud. El método es exacto en el sentido de que todas las ecuaciones de equilibrio son satisfechas.

Las ecuaciones requeridas para analizar la estabilidad aplicando la técnica del cálculo de variaciones, considera las tres ecuaciones de equilibrio conjuntamente con la condición de transversalidad, obteniéndose un sistema de ecuaciones no lineales, en la cual el factor de seguridad y las tensiones normales actuando sobre la superficie potencial de rotura deben obtenerse a través de métodos numéricos.

Por otra parte, la estabilidad se puede analizar en terrenos no homogéneos, lo que indica que los parámetros de corte dentro del dominio analizado varían en función del tipo de suelo o macizo rocoso. Adicionalmente, se tiene en cuenta, el efecto sísmico, presión intersticial y sobrecarga.

Para ello, se considera:

  • La ecuación del Factor de seguridad, obtenida a través del método de equilibrio límite y el criterio de rotura de Mohr- Coulomb.
  • Las ecuaciones de equilibrio, sumatoria de fuerzas horizontales, verticales y de momento.
  • Para dar solución y agrupar las ecuaciones de equilibrio, se considera el funcional G que a través de los multiplicadores de Lagrange.
  • Se aplican las ecuaciones diferenciales de Euler y las ecuaciones de transversalidad generales para el caso de fronteras móviles en la cresta y pie del talud.
  • Se resuelve el sistema de ecuaciones

Para resolver el sistema de ecuaciones no lineales, producto de la aplicación del cálculo de variaciones en la estabilidad de taludes, se utiliza el software de Maple en el que se introducen diferentes subrutinas y programaciones.

Determinación de la curva plana potencial de rotura plana, parabólica y circular en un talud

Para determinar el factor de seguridad y la distribución de los esfuerzos sobre la curva plana de rotura plana, se analiza en primer lugar un talud con una inclinación b con respecto a la horizontal, en el cual se quiere obtener el estado tensional referido al nuevo sistema de ejes rotados x’y’, coincidiendo el eje y’ con la cara libre del talud. Por otra parte, con la ayuda de las ecuaciones de equilibrio se obtienen los valores de las tensiones normales y cortantes.

Previamente se consideran para efectos de simplificar el problema que el esfuerzo cortante es una función lineal de x’ para el caso de rotura plana estudiado. Para el caso de rotura parabólica se expresa con la ecuación de una parábola y en la rotura circular la ecuación es un circulo.

Posteriormente se aplican las condiciones de contorno y se determinan las expresiones para cada uno de los casos estudiados.

Aplicación de la condición de transversalidad del cálculo de variaciones para la determinación de la curva plana más desfavorable

Para la determinación de la curva plana potencial de rotura plana más desfavorable, se considera que la misma pasa por pie del talud, es decir, el punto es igual a cero y la coordenada en cresta del talud es móvil. Para ello, se utiliza la ecuación de transversalidad en la cresta del talud, el cual está representada por las condiciones expuestas para la cresta considerando rotura plana, parabólica y circular. Además, el esfuerzo y la ordenada en el punto correspondiente a la cresta del talud, se determina utilizando las fórmulas por diferencias divididas de alta exactitud, la cual toma términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor.

Finalmente, para determinar la curva plana potencial no circular más desfavorable, se utilizan las subrutinas programadas en Maple. Se aplican las ecuaciones correspondientes a la de sumatoria de fuerzas horizontales, la ecuación de la sumatoria de las fuerzas verticales, la ecuación de la sumatoria de momentos, las ecuaciones de Euler. La ecuación del funcional G la cual permite determinar la curva plana de rotura, debido a que en ella se considera las propiedades geomecánicas del material, tal como lo indica (Mac-Lennan, 2004), en su artículo donde señala que esa es la clave para la determinación de la curva plana potencial de rotura más desfavorable. También se utiliza la ecuación de transversalidad (26) y las ecuaciones de la cresta del talud.

4.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Se realiza un ejemplo práctico donde se estudia las curvas planas potenciales más desfavorables que generan las roturas plana, parabólica y circular, del ejemplo propuesto por (Castillo & Revilla, 1976). Así mismo, se determina la curva plana de rotura no circular más desfavorable.

Luego se realizan las comparaciones a través de la representación en un gráfico de las tres curvas planas potenciales de roturas más desfavorables. Se observa que la rotura plana debido a que el talud es tendido, la superficie de rotura se extiende más, cortando en la cresta del talud  a una mayor distancia en comparación con las otras dos roturas que cortan en la cresta a una distancia de menor. En comparación con (Castillo & Revilla, 1976) donde muestran un gráfico para el ejercicio planteado, indicando que el valor de la distancia de la cresta del talud (DCT) es intermedio. Por tanto, si se requiere colocar anclajes para estabilizar un talud de estas características, y además se considera el tipo de rotura plana, se necesita mayor longitud de elementos estructurales (anclajes) para su estabilización, lo contrario a los otros dos tipos de rotura cuya longitud de anclaje sería menor.

5.- CONCLUSIONES

En este trabajo se aplicó la técnica del cálculo de variaciones en el análisis de estabilidad de taludes. En primer lugar, se desarrollaron las ecuaciones del cálculo variacional considerando las condiciones de equilibrio límite, donde se obtuvieron las ecuaciones de equilibrio, una expresión compacta del funcional G, las ecuaciones de Euler se combinaron para la obtención de una sola expresión y la ecuación de transversalidad se aplicó a la cresta del talud para lograr que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas.

En la segunda fase de investigación, se propuso una programación en Maple que puede ser utilizada para una masa potencialmente deslizante la cual está dividida en rebanadas.

En función de la ecuación de transversalidad propuesta, se determinó las curvas planas potenciales de rotura plana, parabólica y circular donde se colocaron las condiciones de contorno apropiada para cada tipo de rotura. Se propuso una metodología que consiste en la iteración de la abscisa de la cresta del talud con el propósito de obtener varias curvas planas de roturas y escoger la que genera el mínimo factor de seguridad.

Según los estudios realizados se propuso que la ecuación del funcional G permite la determinación de la curva plana potencial de rotura no circular más desfavorable. La forma que presenta la curva plana determinada tiene un comportamiento continuo y tiene la característica de profundizarse en el sustrato.

Para la determinación de las curvas planas potenciales de rotura plana, parabólica y circular y la curva plana no circular más desfavorable, se realizó un ejemplo con un talud tendido y de esta manera poder comparar dichas curvas planas. Primero se realizaron las iteraciones que permiten obtener las curvas planas más desfavorables para los diferentes tipos de rotura, luego se compararon las curvas planas de rotura plana, parabólica y circular obteniéndose que la rotura plana tiende a extenderse más debido a la forma que presenta el talud, por tanto, genera mayor costo al momento de utilizar alguna técnica de estabilización. Por otra parte, la rotura no circular se comparó con las roturas más desfavorables obtenidas a través del programa Slide, la forma de la curva con el método variacional tiende a profundizarse en el sustrato en comparación con las otras.

Seguidamente, se hizo otro ejemplo para un talud vertical, donde se realizaron las iteraciones necesarias para la obtención de las curvas planas de roturas más desfavorables, luego se compararon las curvas planas de rotura plana, parabólica y circular, obteniéndose que las mismas están muy juntas en el pie del talud y luego varían hacia la superficie del talud.

Por último, se puede decir que, la técnica del cálculo variacional es un método muy versátil, cumple con las condiciones de equilibrio, permite determinar la forma de la curva y(x) y las tensiones normales s(x), no se requieren de suposiciones, también tiene en cuenta la presión de poros, el efecto sísmico y diferentes estratos, los cuales generan un sistema de ecuaciones no lineales. Con la ayuda de los métodos numéricos se obtiene la solución a las integrales y al sistema de ecuaciones no lineales. Además, puede ser utilizado para geometrías donde el talud sea vertical o irregular (cualquier forma).

DESPEDIDA:

Finalmente quiero agradecer a la Academia por Incorporarme y aceptarme como Miembro Correspondiente Estatal en el Área de las Ciencias Físicas, Matemáticas, Químicas, Naturales, de la Salud y la Tecnología. Es un honor y un placer formar parte de este honorable cuerpo representado por numerosos investigadores, profesores y científicos destacado cada uno en sus áreas de investigación y pertinencia. Se que la labor emprendida por cada uno de los miembros es importante porque aportan información valiosa y pertinente a la ciudad de Mérida y además se sienten comprometidos y orgullosos de aportar un granito de arena en mejorar con sus valiosos aportes y contribuir en todos los proyectos que ayuden a mejorar nuestra ciudad. Muchas gracias a todos por acompañarme y estar aquí presente. Muy agradecida y complacida.

Dra. Norly Thairis Belandria Rodríguez

Ver presentación que acompaña al discurso

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